BIOGRAFÍAS DE GAUSS Y ARGAND

Karl Friedrich Gauss

(Brunswick, actual Alemania, 1777 - Gotinga, id., 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.

Karl Friedrich Gauss

El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.

En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.

Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.

En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

Alrededor de 1820, ocupado en la correcta determinación matemática de la forma y el tamaño del globo terráqueo, Gauss desarrolló numerosas herramientas para el tratamiento de los datos observacionales, entre las cuales destaca la curva de distribución de errores que lleva su nombre, conocida también con el apelativo de distribución normal y que constituye uno de los pilares de la estadística.

Otros resultados asociados a su interés por la geodesia son la invención del heliotropo, y, en el campo de la matemática pura, sus ideas sobre el estudio de las características de las superficies curvas que, explicitadas en su obra Disquisitiones generales circa superficies curvas (1828), sentaron las bases de la moderna geometría diferencial. También mereció su atención el fenómeno del magnetismo, que culminó con la instalación del primer telégrafo eléctrico (1833). Íntimamente relacionados con sus investigaciones sobre dicha materia fueron los principios de la teoría matemática del potencial, que publicó en 1840.

Otras áreas de la física que Gauss estudió fueron la mecánica, la acústica, la capilaridad y, muy especialmente, la óptica, disciplina sobre la que publicó el tratadoInvestigaciones dióptricas (1841), en las cuales demostró que un sistema de lentes cualquiera es siempre reducible a una sola lente con las características adecuadas. Fue tal vez la última aportación fundamental de Karl Friedrich Gauss, un científico cuya profundidad de análisis, amplitud de intereses y rigor de tratamiento le merecieron en vida el apelativo de «príncipe de los matemáticos».

JEAN-ROBERT ARGAND.

Jean-Robert Argand

Jean Robert Argand (18 de julio de 1768 - 13 de agosto de 1822) fue un contable y matemático suizo que describió en 1806 la representación geométrica de los números complejos, creando lo que se conoce como plano de Argand.

Plano complejo.

En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el nombre de eje real y el y eje imaginario

Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye aJean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel.
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamentelos números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áras de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Uso del plano complejo en teoría de control .

En teoría de control, uno de los usos del plano complejo se conoce como el 'plano s'. Se usa para visualizar las raíces de la ecuación describiendo la conducta de un sistema (la ecuación característica) gráficamente. La ecuación se expresa normalmente como un polinomio de parámetro 's' de la transformada de Laplace, y de ahí el nombre de plano 's'.
Además, otro uso del plano 's' es el criterio de estabilidad de Nyquist, que es un principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de control mediante la inspección del diagrama de Nyquist de la respuesta de fase de la función de transferencia en el plano complejo.
El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se usa la transformada Z en lugar de la de Laplace.